El Teorema de Pick

Vamos a calcular la superficie del siguiente póligono que os mostramos en la fotografía.

El dibujo lo realizamos en el suelo con  báldosas (cuadradas) , este nos  servirá de cuadrícula.

 

Otra imagen , del mismo polígono  dibujada con el GeoGebra:

Vamos a calcular la superficie de este polígono , sirviéndonos de esta última imagen.

Para calcular la superficie de nuestro polígono , vamos a  a aplicar una estrategia muy usada en las matemáticas y en la vida cotidiana: Divide y vencerás.

Vamos a descomponer , nuestro polígono en  4 triángulos isósceles y en un cuadrado.

Vamos a calcular la superficie de los triángulos isósceles.Vamos a suponer que las cuadrículas son cuadrados de  dimensiones  un número  a unidades (cm,m,dm,...).

Sabemos que la Superficie de un triángulo es el producto de la  base por la altura dividida por dos.Pero ,¿ cuánto vale la altura? , y la ¿base?

Cálculo de la base:

La base es fácil , si te fijas es la diagonal del cuadrado. Entonces aplicando el Teorema de Pitágoras:

d² = a² + a² , donde d , va ser la base de nuestro triángulo.

Pero , ¿cómo calculamos la altura?.

Cálculo de la altura:

Vamos a tener que ingeniárnosla , vamos a calcular la altura del triángulo.

Lo primero que tenemos que hacer es observar que en el triángulo isósceles , contamos con dos triángulos rectángulos , lo cual ya nos permite usar el Teorema de Pitágoras.

Ahora ya estamos en condiciones de calcular la altura (h2) , fíjate :

Ahora calcularemos la superficie:

La superficie del triángulo es :

Pero claro tenemos 4 triángulos , entonces.

Ahora calcularemos la superficie del cuadrado , cuyo lado es dos veces la diagonal de la cuadrícula.

La superficie del cuadrado:

Evidentemente la superficie total será:

 Luego la superficie de nuestro polígono es de 14 a² unidades cuadradas.

Si a = 1 cm , entonces sería 14 cm² ,si fuera a = 2 cm , entonces será 56 cm ².

Bueno pues el Teorema de Pick , nos permite calcular la superficie de este polígono , de una manera muy sencilla. Sólo tenemos que contar .

Si te fijas en la malla de puntos , hay puntos que están en el interior del polígono (puntos interiores ,I ) y puntos que están en las aristas (puntos frontera  ,B) . Una vez que los tenemos bien contados  , tenemos que sustituir en una expresión algebraica , la Fórmula de Pick   (S = I + B/2 - 1).

Finalmente tras sustituir en la fórmula tenemos:

También para calcular la superficie de nuestro polígono puedes usar un programa de dibujo vectorial como el Q CAD , aquí os muestro un pantallazo .

Vamos a suponer , que nuestra cuadrícula está compuesta por cuadrados de 10 cm de lado.

 Con el Q CAD representamos , el polígono y con una de sus herramientas calculamos la superficie.

Una vez que , ya hemos visto diversas maneras para calcular la superficie de nuestro polígono, lo que tenemos que hacer es , medir las dimensiones de la baldosa (en nuestro caso una por ser un cuadrado) , y calcular la superficie , sustituyendo , a , por dicha medición en la expresión   S = 14 a², recordando que si expresamos la longitud del lado en cm , la superficie viene dada en cm².

Aquí os dejamos unas fotos .Esta actividad fue realizada por los alumnos de 3º  de Diversificación .Un especial recuerdo a Jony y a Fati.

 Vamos a dibujar el polígono en el suelo.

Ya empezamos a trazar las aristas del polígono en el suelo.

Marcamos los puntos interiores ,  frontera y atacando,...

Finalmente , unas cuentitas.

En busca de la Estrella Pitagórica

Los pitagóricos eran los miembros seguidores de la escuela pitagórica, una organización griega de astrónomos, músicos,matemáticos y filósofos, que creían que todas las cosas estaban regidaspor números.
El pentagrama (estrella de cinco puntas) fue un importante símbolo religioso usado por los pitagóricos, que lo denominaban "salud". Los pitagóricos deben su nombre a la influencia que sobre ellos tuvo el  filósofo Pitágoras.

Para representar el pentagrama o estrella Pitagórica, vamos a dibujar un pentágono regular.

Aquí os presentamos un vídeo tutorial en el que se muestra la forma en la que hemos construido con el programa  GeoGebra.

Ahora , que ya sabemos construir el pentágono , es fácil dibujar la estrella pitagótica.

La siguiente imagen  que te vamos a mostrar tiene gran importancia para los matemáticos , pues  representa un Grafo Hamiltoniano , si lo analizamos bien, vemos que  existe un ciclo ( llamado  ciclo hamiltoniano, que es un camino que recorre todas las aristas , sin repetir ninguna y sin levantar el lápiz del papel), además este grafo se denomina un grafo completo "K _5" puesto que cada vértice , está unido mediante aristas con todos los demás (de cada vértice salen 5 arístas).

Pero vamos a estudiar , más a fondo la estrella pitagórica , en particular la razón (cociente) que existe entre unas de sus aristas , es un número muy especial : el Número Áureo.

Fíjate , vamos a representar la estrella pitagórica con el GeoGebra, este programa  gracias a sus múltiples herramientas nos permite conocer la distancia entre dos puntos.

Fíjate en el cociente de  la longitud de los segmentos.

A este número irracional  se le   llama Número Áureo.

Pero también encomtramos este número en otros cocientes.Compruébalo.

 Nosotros construimos la estrella Pitagórica con Briks de leche.

La Invitación

Este problema fue propuesto en la  XVII Olimpiada Matemática (fase nacional).

El señor y la señora Fernández invitaron a cenar a otros tres matrimonios.A la llegada , antes de empezar a cenar , se saludaron con algunos apretones de manos.Como es lógico nadie saludo ni a su esposa o esposo ni a si mismo , ni dió la mano a la misma persona más de una vez.

Al sentarse a la mesa , el señor Fernández preguntó a cada persona incluida su esposa , a cuántos asistentes había dado la mano .Para su sorpresa , cada uno de los invitados le dijeron una cantidad diferente .¿A cuántas personas dió la mano la señora Fernández?.
(El uso de un gráfico te ayudará).

Este articulillo va dedicado a nuestro genial colega y  profesor de Matemáticas,  David , que actualmente ejerce su trabajo en el IESO Valles de Gata ( Hoyos ) , quien lo resolvió de una manera genial , aquella tarde de peli y villancicos.

Aquí te ponemos el gráfico , interprétalo.

Suma de Fracciones

Cuando el profesor de matemáticas , nos pone ejercicios de  operaciones combinadas  de fracciones , y nos pregunta. ¿Cómo atacamos el ejercicio?.
Todos decimos . " El mínimo común múltiploooooo !!!! " .Pero bueno antes tenemos que ver si hay paréntesis, operaciones de multiplicar,..., en fín tenemos que recordar la Jerarquía de las Operaciones.

Vamos a hacer una reflexiones sobre la suma de fracciones.Imagenémonos un diálogo entre dos alumnos de 2º ESO como tú.

Manuel :  ¡Juan!,.¿Se pueden sumar fracciones con distinto denominador?

Juan     :  NO , sólo se pueden sumar , fracciones que tengan el mismo 

                  denominador.

Manuel : Entonces , ¿cómo lo hacemos en clase ?

Juan       : ¡¡¡¡  Tenemos que hacer que tengan el mismo denominador  !!!!!

Manuel   :¿Y qué  denominador  ponemos?

Juan        : El mejor , el mínimo común múltiplo.

Manuel  : ¿Por qué?

Juan       : Pues porque es el número "más chico ",mínimo  , que contiene (es mútiplo de..., significa que está en la tabla de multiplicar de ...) a todos (por eso es común) los  denominadores.

Manuel : ¿Ah? , y luego , multiplica por el de arriba y divide por el de abajo o al revés , eso yo no lo entiendo.

Juan : Lo que usa el profesor de matemáticas , es eso de las fracciones equivalentes que nos explicó el otro día .


Aquí te dejo los apuntes 

LAS TORRES DE HANOI

Aquí , os muestro una foto de las  Torres de Hanoi , construidas usando material reciclado en este caso tapones de plástico , y un tablón de madera  .

La estructura es muy simple y consiste en un tablón donde se le han insertado tres barritas de hierro , paralelas entre sí y perpendiculares al tablón.

Este juego se fundamenta en una herramienta muy usado por los matemáticos llamada recursividad.

Este juego consiste en mover los tapones desde una barrita que se encuentra en un extremo  , a otra barrita que se encuentra en el extremo opuesto , usando la barrita de enmedio como barrita auxiliar.

Partimos , de que todos los tapones están ubicados en la barrita extremo derecha  , como en la de la foto  , donde se puede apreciar , que los tapones están ordenados de mayor radio (abajo ) hasta los de menor radio (arriba). El "intríngulis" del juego (los matemáticos dirían la restricción), es que cuando mueva los tapones , siempre , siempre,..., los tapones de menor radio tienen que estar, siempre encima de los tapones de mayor radio.

Nuestro objetivo va sa ser  comprobar que el mínimo número de movimientos correctos sigue la sigiente expresión recursiva  p(k) = 2^k -1

Donde k es el número de tapones , con el que vamos a jugar.

Para comprobarlo , lo  que único que tenemos que hacer es , aplicar lo que hemos aprendido en la Unidad de Lenguaje Algebraico , cálculo de valor numérico  , si ponemos dos tapones , entonces k=2 , luego p(2) = 2 ² -1 = 3 , lo que significa que he de hacer 3 movimientos , si ponemos 3 tapones  p(3) = 2 ³ -1 = 7 movimientos. Aquí os dejo un ejemplo.

¡¡Muchas gracias!! a todo los niños del Colegio Público , Nuestra Señora de Asunción de Valverde del Fresno  , y  a su genial profesor y compañero  Vicente Garrido Clemente ( profesor del colegio y del IESO Val de Xálima  )por recoger los tapones de botellas, bombonas de butano,..., sin vuestra ayuda y sin vuestra persistencia y convicciones  tan buenas como el reciclaje , esto no hubiera sido posible.

Estimación de la altura del Pena Flor

ESto es una prueba

LAS FLORES Y LAS MATEMÁTICAS

¡¡Vamos a dibujar flores , con el GeoGebra !! . En nuestro caso vamos a dibujar una flor  de 12 pétalos. Fíjate en la imagen .

Vamos a explicar cúal es el fundamento matemático.

¿Te has preguntado alguna vez cúales son los posibles restos al dividir cualquier número por 12 ?. Bien la respuesta es sencilla :

{ 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11}, cuando el resto es cero decimos que la división es exacta y que el número en cuestión es un múltiplo de 12.Todos los números enteros ( Z ) , se pueden clasificar atendiendo a su resto . Por ejemplo 24, 36, 48 ,..., son números que al dividirlos por 12 su resto es cero , 25 ,37,..., al dividirlo por 12 su resto es 1. Los matemáticos entonces dicen  que {24, 36,...} pertenece a la clase de  resto 0 módulo 12 (porque dividimos por 12 ). Es evidente que {25,37,...} pertenecen a la clase de resto 1 módulo 12.Esto que os estoy contando si teneis un poquito de curiosidad es el fundamento de las congruencias importantísimo para poder encriptar y desencriptar mensajes ( como por ejemplo la clave wifi del vecino). Dicho esto ya sabéis una de las grandes aplicaciones de las Matemáticas en el espionaje , sino deberíamos de preguntárselo a  Julio Cesar , que fue el primer Emperador Romano en usar un sistema de encriptación. Bueno volviendo a nuestra flor de 12 pétalos , vamos a fijarnos en los posibles restos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, bien ahora vamos a cojer de este conjunto los números primos (ya sabeis estos números son los "ladrillos" , con los que construimos los demás números ) .Seleccionando  los números primos de nuestros posibles restos nos quedamos con  : {2,3,5,7,11} Bien llegados a este punto podemos preguntarnos , son estos números los posibles ladrillos (los matemáticos los llaman generadores) , con los cuales somos capaces de construir el conjunto  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. La respuesta es afirmativa , el 5 , es un generador , porque es capaz valga la rebundancia de generar los demás sino fíjate en el siguiente esquema.Vamos a multiplicar por 5 cualquier número  que se nos ocurra  , procurando que estos números  sean consecutivos (para que nos demos cuenta) y luego vamos a dividir dicho producto por 12.

 

Como puedes comprobar los restos , son cíclicos y guardan un orden, (1º el 0, 2º  el  5, 3º  el  10, 4º  el  3, 5º el 1, 6º el 6,...).Bien ahora , como decimos en nuestra Tierra "agarramos " , el GeoGebra y pintamos un polígono regular de 12 lados , y marcamos sus vértices de 0 a 11, (siguiendo un mismo sentido y de manera ordenada) , y dichos vértices los unimos siguiendo la secuencia cíclica de los restos , es decir el 0-5, luego el 5 -10 , y asi sucesivamente , obtendrás la flor de 12 pétalos.