PARALELOGRAMOS, CUADRILÁTEROS Y DIAGONALES

Vamos a resolver un problema propuesto en una Olimpiada  Matemáticas Extremeña , en la fase Autonómica.

Sabiendo que partimos del rectángulo ABCD , con las dimensiones que indican el dibujo. Calcula el área del rectángulo que tiene como lado la diagonal  DB. 

 Es fácil observar que la superficie del rectángulo ABCD es de dos centímetros cuadrados.

Para resolver este problema , vamos a tener que repasar varios conceptos.


1º Triángulos semejantes.

Vamos a buscar triángulos que tengan , algún lado en común , y un ángulo igual .¡¡ Fíjate , en el rectángulo en  azul , aquí nos encontramos con  dos triángulos rectángulos , con un lado común h !! .
 
2º  Aplicamos el Teorema de Thales.

Al aplicar el Teorema vamos a obtener unas  igualdades entre razones (proporciones)  .

Ademas sabemos que :

Donde a + b , es la diagonal DB , que la calculamos aplicando el Teorema de Pitágoras.


Esta ecuación , junto con la que obtengamos de las anteriores proporciones , nos van a permitir resolver un sistema de ecuaciones.

Despejamos la a y b.

a = 2h

Sustituimos en la ecuación anterior.

Como sabemos que la superficie de un rectángulo es : S = b h

 Luego la superficie del rectángulo que nos piden , son dos centímetros cuadrados.

Entonces .¡¡ Los dos rectángulos tienen la misma superficie!!.

Fíjate.
Vamos a resolver el problema con el GeoGebra.

Pintamos los rectángulos y con la herramienta superficie calculamos el área.