La Invitación

Este problema fue propuesto en la  XVII Olimpiada Matemática (fase nacional).

El señor y la señora Fernández invitaron a cenar a otros tres matrimonios.A la llegada , antes de empezar a cenar , se saludaron con algunos apretones de manos.Como es lógico nadie saludo ni a su esposa o esposo ni a si mismo , ni dió la mano a la misma persona más de una vez.

Al sentarse a la mesa , el señor Fernández preguntó a cada persona incluida su esposa , a cuántos asistentes había dado la mano .Para su sorpresa , cada uno de los invitados le dijeron una cantidad diferente .¿A cuántas personas dió la mano la señora Fernández?.
(El uso de un gráfico te ayudará).

Este articulillo va dedicado a nuestro genial colega y  profesor de Matemáticas,  David , que actualmente ejerce su trabajo en el IESO Valles de Gata ( Hoyos ) , quien lo resolvió de una manera genial , aquella tarde de peli y villancicos.

Aquí te ponemos el gráfico , interprétalo.

Suma de Fracciones

Cuando el profesor de matemáticas , nos pone ejercicios de  operaciones combinadas  de fracciones , y nos pregunta. ¿Cómo atacamos el ejercicio?.
Todos decimos . " El mínimo común múltiploooooo !!!! " .Pero bueno antes tenemos que ver si hay paréntesis, operaciones de multiplicar,..., en fín tenemos que recordar la Jerarquía de las Operaciones.

Vamos a hacer una reflexiones sobre la suma de fracciones.Imagenémonos un diálogo entre dos alumnos de 2º ESO como tú.

Manuel :  ¡Juan!,.¿Se pueden sumar fracciones con distinto denominador?

Juan     :  NO , sólo se pueden sumar , fracciones que tengan el mismo 

                  denominador.

Manuel : Entonces , ¿cómo lo hacemos en clase ?

Juan       : ¡¡¡¡  Tenemos que hacer que tengan el mismo denominador  !!!!!

Manuel   :¿Y qué  denominador  ponemos?

Juan        : El mejor , el mínimo común múltiplo.

Manuel  : ¿Por qué?

Juan       : Pues porque es el número "más chico ",mínimo  , que contiene (es mútiplo de..., significa que está en la tabla de multiplicar de ...) a todos (por eso es común) los  denominadores.

Manuel : ¿Ah? , y luego , multiplica por el de arriba y divide por el de abajo o al revés , eso yo no lo entiendo.

Juan : Lo que usa el profesor de matemáticas , es eso de las fracciones equivalentes que nos explicó el otro día .


Aquí te dejo los apuntes 

LAS TORRES DE HANOI

Aquí , os muestro una foto de las  Torres de Hanoi , construidas usando material reciclado en este caso tapones de plástico , y un tablón de madera  .

La estructura es muy simple y consiste en un tablón donde se le han insertado tres barritas de hierro , paralelas entre sí y perpendiculares al tablón.

Este juego se fundamenta en una herramienta muy usado por los matemáticos llamada recursividad.

Este juego consiste en mover los tapones desde una barrita que se encuentra en un extremo  , a otra barrita que se encuentra en el extremo opuesto , usando la barrita de enmedio como barrita auxiliar.

Partimos , de que todos los tapones están ubicados en la barrita extremo derecha  , como en la de la foto  , donde se puede apreciar , que los tapones están ordenados de mayor radio (abajo ) hasta los de menor radio (arriba). El "intríngulis" del juego (los matemáticos dirían la restricción), es que cuando mueva los tapones , siempre , siempre,..., los tapones de menor radio tienen que estar, siempre encima de los tapones de mayor radio.

Nuestro objetivo va sa ser  comprobar que el mínimo número de movimientos correctos sigue la sigiente expresión recursiva  p(k) = 2^k -1

Donde k es el número de tapones , con el que vamos a jugar.

Para comprobarlo , lo  que único que tenemos que hacer es , aplicar lo que hemos aprendido en la Unidad de Lenguaje Algebraico , cálculo de valor numérico  , si ponemos dos tapones , entonces k=2 , luego p(2) = 2 ² -1 = 3 , lo que significa que he de hacer 3 movimientos , si ponemos 3 tapones  p(3) = 2 ³ -1 = 7 movimientos. Aquí os dejo un ejemplo.

¡¡Muchas gracias!! a todo los niños del Colegio Público , Nuestra Señora de Asunción de Valverde del Fresno  , y  a su genial profesor y compañero  Vicente Garrido Clemente ( profesor del colegio y del IESO Val de Xálima  )por recoger los tapones de botellas, bombonas de butano,..., sin vuestra ayuda y sin vuestra persistencia y convicciones  tan buenas como el reciclaje , esto no hubiera sido posible.

Estimación de la altura del Pena Flor

ESto es una prueba

LAS FLORES Y LAS MATEMÁTICAS

¡¡Vamos a dibujar flores , con el GeoGebra !! . En nuestro caso vamos a dibujar una flor  de 12 pétalos. Fíjate en la imagen .

Vamos a explicar cúal es el fundamento matemático.

¿Te has preguntado alguna vez cúales son los posibles restos al dividir cualquier número por 12 ?. Bien la respuesta es sencilla :

{ 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11}, cuando el resto es cero decimos que la división es exacta y que el número en cuestión es un múltiplo de 12.Todos los números enteros ( Z ) , se pueden clasificar atendiendo a su resto . Por ejemplo 24, 36, 48 ,..., son números que al dividirlos por 12 su resto es cero , 25 ,37,..., al dividirlo por 12 su resto es 1. Los matemáticos entonces dicen  que {24, 36,...} pertenece a la clase de  resto 0 módulo 12 (porque dividimos por 12 ). Es evidente que {25,37,...} pertenecen a la clase de resto 1 módulo 12.Esto que os estoy contando si teneis un poquito de curiosidad es el fundamento de las congruencias importantísimo para poder encriptar y desencriptar mensajes ( como por ejemplo la clave wifi del vecino). Dicho esto ya sabéis una de las grandes aplicaciones de las Matemáticas en el espionaje , sino deberíamos de preguntárselo a  Julio Cesar , que fue el primer Emperador Romano en usar un sistema de encriptación. Bueno volviendo a nuestra flor de 12 pétalos , vamos a fijarnos en los posibles restos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, bien ahora vamos a cojer de este conjunto los números primos (ya sabeis estos números son los "ladrillos" , con los que construimos los demás números ) .Seleccionando  los números primos de nuestros posibles restos nos quedamos con  : {2,3,5,7,11} Bien llegados a este punto podemos preguntarnos , son estos números los posibles ladrillos (los matemáticos los llaman generadores) , con los cuales somos capaces de construir el conjunto  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. La respuesta es afirmativa , el 5 , es un generador , porque es capaz valga la rebundancia de generar los demás sino fíjate en el siguiente esquema.Vamos a multiplicar por 5 cualquier número  que se nos ocurra  , procurando que estos números  sean consecutivos (para que nos demos cuenta) y luego vamos a dividir dicho producto por 12.

 

Como puedes comprobar los restos , son cíclicos y guardan un orden, (1º el 0, 2º  el  5, 3º  el  10, 4º  el  3, 5º el 1, 6º el 6,...).Bien ahora , como decimos en nuestra Tierra "agarramos " , el GeoGebra y pintamos un polígono regular de 12 lados , y marcamos sus vértices de 0 a 11, (siguiendo un mismo sentido y de manera ordenada) , y dichos vértices los unimos siguiendo la secuencia cíclica de los restos , es decir el 0-5, luego el 5 -10 , y asi sucesivamente , obtendrás la flor de 12 pétalos.

GEOMETRÍA RECICLABLE

Es muy curioso lo que se puede hacer con la parte de atrás de una botella de agua , en nuestro caso un envase PET (polietileno tereftalato).
De pura casualidad, durante una comida undi con la barbilla la parte trasera de la botella ("haciendo el gamba") y cual fue mi sorpresa , que me encontre con un pentágono ( además de una homotecia, asunto del próximo articulillo).
Corte la botella por la base , de esa manera extraje el pentágono , y le eche agua con azafrán para tintarla , después  puse el recorte de botella debajo de la lámpara de la cocina(fluorescente circular) , para var el efecto que causaba , parecía ambar.Aquí os dejo un video .

Además  me ayudé del GeoGebra para comprobar si el  pentágono de la foto  era regular (todas las aristas son iguales),comprobe que no era el caso.