En anteriores post , hemos hablado de polígonos regulares , como el pentágono , donde inscribimos la estrella pitagórica . El pentágono lo podemos dibujar en un papel , en una pizarra , es decir en dos dimensiones , pero ¿qué pasaría si le añadimos una dimensión más?.Tenemos los
poliedros.
Al contrario de lo que pasaba en el papel , donde hay polígonos regulares con un número arbitrario de lados , en tres dimensiones las matemáticas nos presentan una gran restricción , soló hay 5 tipos de poliedros regulares.
El estudio de los cuerpos platónicos está contenido en el último tomo de los Elementos de Euclides como punto cumbre de su geometría.
Pero antes de nada vamos a definir lo que es un poliedro.
Un poliedro ( P ) , es un conjunto finito de polígonos , en el espacio .A los polígonos se les llama caras del poliedro , a los vértices del polígono se les llama vértices , y a los lados se les llama aristas .
Para confirmar que nuestro cuerpo o sólido , es un poliedro tiene que verificar:
- Dos caras de un poliedro o bien no se cortan , o bien tienen un único vértice en común o bien se cortan en una arista.
- Cada arista del poliedro es un lado del polígono.
- Las caras de un poliedro que comparten un vértice común V se pueden ordenar en una sucesión C1,C2,...,Cr , de manera que Ci y Ci+1 son adyacentes , y el lado en común tiene por extremos V , y lo mismo ocurre con Cr y C1 ( el último y primer vértice respectivamente)
El Dodecaedro Regular.
Características:
Caras : 12
Polígonos que forman las caras: pentágonos regulares.
Aristas : 30
Vértices : 20
Nuestros alumnos de 4º Diversificación , en la asignatura de Plástica impartida por la genial profesora , Sandra Chapas , han trabajado con estos sólidos construyendo unas estrellas espectaculares , aquí os las mostramos.
Inés fue capaz de construir esta genial estrella , partiendo de un dodecaedro y puntas de pirámides con base pentagonal.
Curiosidad del dodecaedro
Imagínate que ponemos una lámpara justamente en la vertical de nuestro dodecaedro .Las aristas de nuestro cuerpo generarán unas sombras sobre la mesa , proyecciones. vamos a analizar dichas dichas proyecciones.
El estudio de dichas proyecciones fue realizado por Sir Willian R.Hamilton , este estudio le sirvió para la invención de un juego: " El viaje alrededor del mundo" o "El dodecaedro del viajero".Tal juego constaba de un dodecaedro sólido donde los vértices del poliedro representaban 20 ciudades.El juego consistía en encontrar un recorrido cerrado (empiezo y termino en un mismo sitio) a través de las aristas del dodecaedro pasando una única vez por cada ciudad , a este recorrido se le llamaba "un viaje al rededor del mundo".
Aquí os lo muestro , imaginaros que las líneas rojas fueran las sombras de las aristas del dodecaedro , (siento mucho ser un penoso fotógrafo, pero la mejoraré no os preocupeis)
La solución al problema , es decir el viaje al rededor del mundo se le conoce como camino Hamiltoniano.
Aquí está la solución.
Si os dais cuenta recorro todos los vértices sin repetir ninguno , excepto el vértice de salida y llegada.
El Icosedro Regular.
Características:
Caras : 20
Polígonos que forman las caras: triángulos equiláteros
Aristas : 30
Vértices : 12
Nuestros alumnos también construyeron otra estrella, partiendo de un icosaedro , aquí os la mostramos.
El Tetraedro Regular.
Características:
Caras : 4
Polígonos que forman las caras: Triángulos equiláteros
Aristas : 6
Vértice : 4
El Octoedro Regular.
Características:
Caras : 8
Polígonos que forman las caras: Triángulos equiláteros
Aristas : 12
Vértices : 6
El cubo
Características:
Caras : 6
Polígonos que forman las caras: cuadrados
Aristas : 12
Vértice : 8
Aquí os dejo una fotografía de los sólidos platónicos que se encuentra en la Universidad de Extemadura , en el Departamento de Matemáticas.
Vamos a profundizar más en el estudio de los poliedros.Vamos a ver que son poliedros convexos.
Un poliedro es
convexo si toda recta que no está contenida en ninguna de los planos que contienen las caras del poliedro corta a lo más en dos puntos a las caras.
Pero el siguiente poliedro no es convexo
El octaedro es un poliedro convexo , fíjate en el siguiente poliedro.
En todos los poliedros convexos se cumple el
Teorema de Euler.
C : nº de caras
A : nº de aristas
V : nº de vértices
C - A + V = 2
Ejemplo:
Lo comprobaré con el octaedro:
Caras : 8
Aristas : 12
Vértices : 6
8 -12 +6 = 2 , ¡¡ se cumple !!
Decimos que un poliedro regular tiene tipo {m,n} , si sus caras son polígonos regulares con "n" lados y cada vértice es vértice de "m" caras.
Todo poliedro regular tiene uno de los siguientes tipos.
Octaedro TIPO {3,4} C = 8 A=12 V=6
Dodecaedro TIPO {5,3} C = 12 A=30 V=20
Icosaedro TIPO {3,5} C = 20 A=30 V=12
Cubo TIPO {4,3} C = 6 A=12 V=6
|
Tetaedro TIPO {3,3} C = 4 A=6 V=4 |
Demostración:
1º Supongamos que P , es nuestro poliedro regular formado por polígonos regulares de n lados y que en cada vértice concurren m polígonos.
2º Supongamos que nuestro poliedro tiene
c caras ,
a aristas y
v vértices.
NOTA :
cada arista sólo puede pertenecer a dos caras.
En cada cara hay
n aristas, por tanto el producto
n c nos da el doble del número total de aristas(ten en cuenta la NOTA).
Entonces : n c = 2 a
Por otra parte cada vértice lo es de m caras, y en cada cara hay n vértices.
Entonces : n c = m v
Además sabemos que : c - a+ v = 2 , que es la fórmula de Euler
Tenemos pues un sistema de ecuaciones. Vamos a resolverlo.
Venga hagamos unas cuentitas.
Tenemos 3 ecuaciones , vamos a dejar la solución en función de los parámetros m y n.
Vamos a aplicar el método de sustitución. RECUERDA las muñecas Matrioskas.
Primero vamos a ocuparnos de las matrioskas pequeñas , es decir vamos a despejar c y v.
Ahora metemos las matrioskas pequeñas en la grande (sustituimos).
La matrioska grande es la Fórmula de Euler. Llegados a este punto despejamos a .
Bien , observando que el nº de aristas verifica la anterior expresión algebraica tenemos que plantearnos.
¿Puede haber una arista y media ?, y ¿un cuarto de arista?.¿Qué significa esto ?.Pues que a sólo puede tomar valores enteros Z , más exactamente números naturales N.
Bién este tipo de ecuaciones que sólo tiene solución en el conjunto de los números enteros se le llama Ecuación Diofántica.
Además sigamos observando la expresión anterior, ¡¡tiene denominadores!!. Te has planteado si el denominador fuese nulo ( el producto de n por m es negativo).¿Qué nos dice la calculadora cuando dividimos por cero? . Las más modernas dicen synxtans error (o algo parecido) pero las más antigüas son más mal educadas y te dicen E ( E de Estúpido),¡¡ porque no se puede dividir por cero!!. ( Esto lo estudiarás en el tema de funciones para la determinación del dominio de una función y en el bachillerato , los valores que anulen el denominador lo llamareis asíntotas verticales).
Entonces teniendo en cuenta que a es en un entero positivo 2m + 2n-nm > 0
Esta desigualdad permanece invariable si le resto 4 unidades a los dos miembros luego.
2m + 2n - nm - 4 > -4 <=> multiplicando los dos miembros por (-1) nos queda :
nm + 4 - 2m -2n < 4
Si te fijas bien esta expresión se puede poner como:
(m-2) (n-2) < 4
(aplica la propiedad distributiva y te darás cuenta que no te miento)
Esta es la expresión algebraica que vamos a estudiar mediante "tonteo" (tanteo).
Si te das cuenta m tiene que ser menor o igual que 3 y n menor o igual que 5 .
n = m = 3 , c = 4 ; a = 6 ; v = 4
n =3 m = 4 , c = 8; a = 12 ; v = 6
n =4 m = 3 , c = 6 ; a = 12 ; v = 8
n =3 m = 5 , c = 20 ; a = 30 ; v = 12
n =5 m = 3 , c = 12 ; a = 30; v = 20
aquí ya tenemos los 5 tipos de sólidos platónicos.
